День числа Пи - великие вопросы без ответов

Сегодня снова день числа Пи, снова, снова... Даже спустя столько времени мне все еще есть что сказать об этом самом интригующем числе. Самое важное в Пи то, что оно иррационально и является одним из немногих трансцендентных чисел, которые мы можем определить, но стоит только поцарапать поверхность, чтобы найти вопросы, на которые мы еще не знаем ответов.

У числа Пи так много интересных свойств, что оно действительно заслуживает отдельного дня, и 3.14 - очень подходящая дата,

Сегодня повсюду проходят празднования числа Пи, многие из них связаны с поеданием Пи, но я хочу поднять несколько интересных вопросов о числе, которое мы все так любим праздновать. Это вопросы, которые вы, возможно, захотите попытаться решить и таким образом сделать этот день настоящим Днем Пи. Хотя должен сказать, что шансы на то, что вы добьетесь успеха, невелики, близки к нулю, и это отражение того, как мало мы знаем о Пи и числах, подобных Пи.
Вспомните, поищите, если не знаете, что Пи - иррациональное число, то есть его нельзя представить в виде отношения двух целых чисел. Вы можете думать, что Пи - это 22/7, но это лишь приближение. Иррациональных чисел гораздо больше, чем рациональных, но доказать, что число иррационально, очень сложно. Пи также трансцендентно, а это значит, что не существует конечного уравнения (многочлена), корнем которого было бы Пи. Это может показаться странным требованием, но если число является корнем уравнения, это определяет свойства числа. Как и в случае с иррациональностью, доказать, что число является трансцендентным, довольно сложно.

Доказать это сложно, но если вы знаете, что число Пи иррационально, то следующий вопрос - являются ли простые выражения с его участием рациональными или иррациональными. Легко ответить на вопрос: "Является ли пи в степени рациональным?". Ответ - очевидное НЕТ, потому что если Пи рационально, то с его помощью можно построить многочлен, корнем которого будет Пи, а этого не может быть, так как Пи трансцендентно.

После простого ответа все рушится, и мы в основном остаемся с открытыми вопросами. Например, "Является ли пи+е или пи-е рациональным?". Мы до сих пор не знаем. Добавьте к этому Pie, Pi/e, Pi*e и так далее, и вы увидите, что мы по большей части остаемся в неведении относительно иррациональных чисел.

Особенно интересен вопрос: "Существует ли число n, которое делает Пи, возведенное в степень Пи n раз - так называемое тетрационное число - рациональным?

Этот старый вопрос был недавно поднят в Интернете и вызвал появление видео, которое стоит посмотреть:

Вы не сможете ответить на этот вопрос даже при n, равном 4, потому что значение становится слишком большим. Я не думаю, что кто-то ожидает, что вычисление повторяющихся степеней числа Пи приведет к рациональному числу. Шокирует то, что мы не можем доказать это тем или иным способом и даже не представляем, как начать решать эту проблему...

Вы можете узнать больше в отличной статье на сайте Spektrum.de. Она написана на немецком языке, но это не проблема, так как Google translate отлично справляется с этой задачей. Там также есть много других статей о Pi, так что сегодня хороший день для посещения.

Pi - это действительно загадочно.